Teorema medianei este o proprietate geometrică importantă în studiul triunghiurilor, care descrie relația dintre medienele unui triunghi și lungimile acestora. O mediană a unui triunghi este un segment de dreaptă care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse acestuia. Fiecare triunghi are trei mediane, iar acestea se întâlnesc într-un punct comun numit centrul de greutate sau baricentru. În acest articol, vom explora teorema medianei în diferite tipuri de triunghiuri: triunghiuri oarecare, isoscele și dreptunghice.
Teorema medianei într-un triunghi oarecare afirmă că lungimea medianei este mai mică decât media aritmetică a lungimilor laturilor triunghiului, dar mai mare decât jumătate din lungimea laturii la care se opune. Formal, dacă AD este o mediană a triunghiului ABC cu D fiind mijlocul laturii BC, atunci:
Această teoremă subliniază faptul că medianele unui triunghi oarecare nu sunt doar segmente de dreaptă ce conectează vârfurile cu mijloacele laturilor opuse, ci au și proprietăți metrice interesante care le diferă de alte segmente.
Teorema medianei într-un triunghi isoscel
Într-un triunghi isoscel, medianele pot avea proprietăți speciale, în special mediana care pleacă din vârful unghiului inegal (vârful opus bazei). Aceasta nu numai că este mediană, dar devine și înălțime și bisectoare, adică împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice simetrice. În acest caz, teorema medianei capătă o simplificare interesantă, deoarece mediana din vârful unghiului inegal este de fapt egală cu jumătate din lungimea bazei, adică:
Unde BC este baza triunghiului isoscel, iar AD este mediana, înălțimea și bisectoarea din vârf.
Teorema medianei în triunghiul dreptunghic
În cazul unui triunghi dreptunghic, teorema medianei care pleacă din vârful unghiului drept are o proprietate unică: aceasta este întotdeauna egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. Acest lucru este o consecință directă a faptului că mediana formează un triunghi isoscel cu jumătățile ipotenuzei. Deci, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu ∠BAC=90 grade și D este mijlocul ipotenuzei BC:
Aceasta nu numai că simplifică calculele în anumite probleme de geometrie, dar oferă și o metodă vizuală atrăgătoare de verificare a unghiurilor drepte în construcții geometrice.
Teorema medianei oferă o perspectivă valoroasă asupra proprietăților interioare ale triunghiurilor și este frecvent utilizată în problemele de geometrie pentru a descoperi și demonstra relații neașteptate între diferite elemente ale triunghiurilor.
